Можно ли в любой треугольник вписать окружность

Можно ли в любой треугольник вписать окружность?

В любой треугольник можно вписать окружность
Во-первых, окружность можно считать вписанной в треугольник, если все стороны этого треугольника касаются данной окружности. Другими словами, каждая сторона треугольника имеет общую точку с окружностью.
Согласно теореме, окружность можно вписать в любой из треугольников. Причем такая окружность для каждого отдельно взятого треугольника может быть только одна.
Рассмотрим ее доказательство.
Доказательство.
Построим треугольник и проведем в нем биссектрисы.
Все три биссектрисы любого треугольника пересекаются в одной точке.
Проведем из этой точки перпендикуляры к сторонам треугольника.
Из равенства треугольников, которые образованы биссектрисой и двумя проведенными перпендикулярами, следует, что все три перпендикуляра являются равными друг другу.
Мы получили, что на всех сторонах треугольника лежит точка, удаленная от точки пересечения его биссектрис на одинаковое расстояние.
Известно, что все радиусы в любой окружности являются равными.
Таким образом, мы получили, что точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности с радиусом, который равен длине перпендикуляра, проведенного из точки пересечения к сторонам треугольника.
Теорема доказана.

Около любого треугольника можно описать окружность. Она проходит через все вершины треугольника. Вы уже знаете, что точка пересечения серединных перпендикуляров равноудалена от вершин треугольника. Она и является центром описанной окружности.
В любой треугольник можно вписать окружность. Она касается всех сторон треугольника. Вы также знаете, что точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от сторон треугольника. Она и является центром вписанной окружности.
А можно ли описать окружность около любого параллелограмма? Если попробовать это сделать, то окажется, что около параллелограмма можно описать окружность, только если он — прямоугольник. Мы узнаем, каким свойством обладают вписанные и описанные четырехугольники и какие признаки позволяют судить о том, можно ли около данного четырехугольника описать и можно ли в него вписать окружность.
И вдобавок мы познакомимся с одной важной формулой площади треугольника S = рr.

ТАБЛИЦА «Описанные и вписанные окружности»

1. Окружность, описанная около треугольника.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.
Теорема. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну. Ее центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Доказательство. Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника равноудалена от его вершин (доказано нами в 7 классе). Поэтому она является центром описанной окружности, расстояние от этой точки до любой из вершин равно радиусу.
Если существует еще одна описанная окружность, то ее центр равноудален от всех трех вершин и поэтому совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров, а радиус совпадает с радиусом первой окружности. Окружности совпадают.

2. Окружность, описанная около прямоугольного треугольника.

Теорема. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, а радиус окружности равен половине гипотенузы.
Доказательство. Мы знаем, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы (доказано нами в 7 классе). Поэтому середина гипотенузы является центром описанной окружности, а ее радиус равен половине гипотенузы, т. е. R = c/2.

3. Окружность, вписанная в треугольник.

Окружность называется вписанной в треугольник, ест она касается всех сторон треугольника.
Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну. Ее центр лежит на пересечении биссектрис треугольника.
Доказательство. Точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от сторон треугольника (доказано нами в 7 классе). Если из этой точки опустить перпендикуляры на стороны и провести окружность радиусом, равным перпендикуляру, то стороны треугольника будут касаться окружности по признаку касательной.
Если существует еще одна вписанная окружность, то ее центр равноудален от всех трех сторон и поэтому совпадает с точкой пересечения биссектрис, а радиус совпадает с радиусом первой окружности. Окружности совпадают.

4. Формула площади S = рr.

Теорема. Площадь треугольника S = рr, где р — полупериметр треугольника, r — радиус вписанной окружности.
Доказательство. Соединим центр вписанной окружности с вершинами треугольника, стороны которого равны а, b и с. Получим три треугольника, для которых радиусы вписанной окружности, проведенные в точки касания, являются высотами. Площадь данного треугольника равна сумме площадей этих треугольников:
где p — полупериметр треугольника.
Данная формула справедлива для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, т. е. для любого описанного многоугольника. Доказательство аналогично.

Читайте так же:

Можно ли восстановить журнал звонков

5. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник.

Теорема. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находится по формуле r = (а + b – c)/2.
Доказательство. Проведем радиусы в точки касания. Получим квадрат со стороной r (четырехугольник, у которого все углы прямые и две соседние стороны равны по r) и отрезки катетов, равные r и а – r для катета а, r и b – r для катета b. Так как отрезки касательных, проведенных из одной точки, к окружности равны, то гипотенуза равна сумме отрезков (a – r) и (b – r). Так как с = (а – r) + (b – r), то r = (а + b – c)/2.

6. Свойство вписанного четырехугольника.

Теорема (свойство вписанного четырехугольника). Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противоположных углов равны по 180°.
Доказательство. Противоположные углы ? и ? являются вписанными. Они опираются на дуги, которые дополняют друг друга до окружности. Окружность содержит 360°. Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то сумма углов ? и ? равна 180°.

7. Признак вписанного четырехугольника.

Окружность называется вписанной в треугольник, если все стороны треугольника касаются этой окружности. В таком случае треугольник называют описанным вокруг окружности.
Рассмотрим вопрос о том, в какой треугольник можно вписать окружность.
У каждой вписанной окружности есть определенные свойства:
В один треугольник может быть вписана окружность, причем только одна.
Центр вписанной окружности размещен на одинаковом расстоянии от всех сторон треугольника и лежит на пересечении его биссектрис.
Обратим внимание, что окружность можно вписать абсолютно в любой из видов треугольников: прямоугольный, тупоугольный, остроугольный, равнобедренный, равносторонний или произвольный.
Для каждого из видов треугольников существуют формулы, которые позволяют найти радиус вписанной в них окружности через длину его сторон, периметр или полупериметр треугольника, высоты треугольника, площадь треугольника.
Обратим внимание, что свойства вписанной в треугольник окружности следуют из свойств биссектрисы угла треугольника.
Согласно основному свойству биссектрисы, любая ее точка находится на одинаковом расстоянии от сторон угла, который она делит на 2 равные части. Соответственно, эти расстояния могут быть радиусами какой-нибудь вписанной окружности.

Теорема 3. Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Доказательство. Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC, и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Рис.6
Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
CO = AO .
Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
AO = BO .
Следовательно, справедливо равенство:
CO = BO ,
откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.
Следствие. Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Доказательство. Рассмотрим точку O, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).
При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:
AO = OB = OC ,
из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA, OB, OC проходит через все три вершины треугольника ABC, что и требовалось доказать.
Теорема 4 (теорема синусов). Для любого треугольника (рис. 7)

Рис.7
справедливы равенства:
.
Доказательство. Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R, на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:
l = 2Rsin φ .(1) Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Рис.8
Угол MPN, как угол,опирающийся на диаметр, является прямым угломугол,опирающийся на диаметр, является прямым углом, и равенство (1) вытекает из определения синуса угла прямоугольного треугольника.
Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.
Формула (1) доказана.
Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Читайте так же:

Можно ли по извещению узнать откуда письмо

Теорема синусов доказана.

На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Формула радиуса окружности, вписанной в треугольник

Если окружность располагается внутри угла и касается его сторон, её называют вписанной в этот угол. Центр такой вписанной окружности располагается на биссектрисе этого угла.

Если же она лежит внутри выпуклого многоугольника и соприкасается со всеми его сторонами, она называется вписанной в выпуклый многоугольник.

Окружность, вписанная в треугольник

Окружность, вписанная в треугольник, соприкасается с каждой стороной этой фигуры лишь в одной точке. В один треугольник возможно вписать лишь одну окружность.

Радиус такой окружности будет зависеть от следующих параметров треугольника:

Длин сторон треугольника.
Его площади.
Его периметра.
Величины углов треугольника.

Для того чтобы вычислить радиус вписанной окружности в треугольник, не всегда обязательно знать все перечисленные выше параметры, поскольку они взаимосвязаны между собой через тригонометрические функции.

Вычисление с помощью полупериметра

Чтобы рассчитать величину радиуса вписанной окружности в треугольник, необходимо учитывать следующие параметры:

Если известны длины всех сторон геометрической фигуры (обозначим их буквами a, b и c), то вычислять радиус придётся путём извлечения квадратного корня.
Приступая к вычислениям, необходимо добавить к исходным данным ещё одну переменную — полупериметр (р). Его можно рассчитать, сложив все длины и полученную сумму разделив на 2. p = (a+b+c)/2. Таким образом можно существенно упростить формулу нахождения радиуса.
В целом формула должна включать в себя знак радикала, под который помещается дробь, знаменателем этой дроби будет величина полупериметра р.
Числителем данной дроби будет представлять собой произведение разностей (p-a)*(p-b)*(p-c)
Таким образом, полный вид формулы будет представлен следующим образом: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).

Вычисление с учётом площади треугольника

Если нам известна площадь треугольника и длины всех его сторон, это позволит найти радиус интересующей нас окружности, не прибегая к извлечению корней.

Для начала нужно удвоить величину площади.
Результат делится на сумму длин всех сторон. Тогда формула будет выглядеть следующим образом: r = 2*S/(a+b+c).
Если воспользоваться величиной полупериметра, можно получить совсем простую формулу: r = S/p.

Расчёт с помощью тригонометрических функций

Если в условии задачи присутствует длина одной из сторон, величина противоположного угла и периметр, можно воспользоваться тригонометрической функцией — тангенсом. В этом случае формула расчёта будет иметь следующий вид:

r = (P /2- a)* tg (α/2), где r — искомый радиус, Р — периметр, а — значение длины одной из сторон, α — величина противоположного стороне, а угла.

Радиус окружности, которую необходимо будет вписывать в правильный треугольник, можно найти по формуле r = a*√3/6.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

В прямоугольный треугольник можно вписать только одну окружность. Центр такой окружности одновременно служит точкой пересечения всех биссектрис. Эта геометрическая фигура имеет некоторые отличительные черты, которые необходимо учесть, вычисляя радиус вписанной окружности.

Для начала необходимо выстроить прямоугольный треугольник с заданными параметрами. Построить такую фигуру можно по размеру её одной стороны и величинам двух углов или же по двум сторонам и углу между этими сторонами. Все эти параметры должны быть указаны в условии задачи. Треугольник обозначается как АВС, причём С — это вершина прямого угла. Катеты при этом обозначаются переменными, а и b, а гипотенуза — переменной с.
Для построения классической формулы и вычисления радиуса окружности необходимо найти размеры всех сторон описанной в условии задачи фигуры и по ним вычислить полупериметр. Если в условиях даются размеры двух катетов, по ним можно вычислить величину гипотенузы, исходя из теоремы Пифагора.
Если в условии дан размер одного катета и одного угла, необходимо понять, прилежащий этот угол или противолежащий. В первом случае гипотенуза находится с помощью теоремы синусов: с=a/sinСАВ, во втором случае применяют теорему косинусов с=a/cosCBA.
Когда все расчёты выполнены и величины всех сторон известны, находят полупериметр по формуле, описанной выше.
Зная величину полупериметра, можно найти радиус. Формула представляет собой дробь. Её числителем является произведение разностей полупериметра и каждой из сторон, а знаменателем —величина полупериметра.

Читайте так же:

Можно ли увидеть невидимку в контакте

Следует заметить, что числитель данной формулы является показателем площади. В этом случае формула нахождения радиуса гораздо упрощается — достаточно разделить площадь на полупериметр.

Определить площадь геометрической фигуры можно и в том случае, если известны оба катета. По сумме квадратов этих катетов находится гипотенуза, далее вычисляется полупериметр. Вычислить площадь можно, умножив друг на друга величины катетов и разделив полученное на 2.

Если в условиях даны длины и катетов и гипотенузы, определить радиус можно по очень простой формуле: для этого складываются длины катетов, из полученного числа вычитается длина гипотенузы. Результат необходимо разделить пополам.

Видео

Из этого видео вы узнаете, как находить радиус вписанной в треугольник окружности.

в любой ли треугольник можно вписать окружность? и вокруг любого ли треугольника можно описать окружность.? (Можно полный ответ) 🙂

через любые три точки ( не лежащие на одной прямой ) можно провести окружность Но только одну.

Другие вопросы из категории

ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ И РИСУНОК

Как найти радиус вписанной окружности треугольника

Окружность, вписанная в треугольник — как найти радиус

Вписанной в треугольник окружностью называют такую окружность, которая занимает внутреннее пространство геометрической фигуры, соприкасаясь со всеми ее сторонами.

В таком случае грани треугольника представляют собой касательные к этой окружности. Сама геометрическая фигура с тремя углами считается описанной вокруг рассматриваемой окружности.

Читайте так же:

Можно ли отремонтировать жидкокристаллический телевизор

Свойства вписанной в треугольник окружности

Окружность, которую вписали в треугольник, обладает определенными свойствами. Основные из них можно записать таким образом:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Центр окружности, которую вписали в треугольник, совпадает с точкой пересечения биссектрис этой геометрической фигуры.
Во внутреннее пространство любого треугольника можно вписать лишь одну окружность.
Формула радиуса окружности, который вписали во многоугольник с тремя углами, будет иметь такой вид:

В представленной формуле радиуса окружности использованы следующие величины:

S – является площадью треугольника;
р – представляет собой полупериметр геометрической фигуры;
a, b, c – являются сторонами треугольника.

Перечисленные свойства необходимо доказать.

Первое свойство

Требуется доказать, что центр окружности, которую вписали в фигуру с тремя углами, совпадает с точкой пересечения биссектрис.

Доказательство построено в несколько этапов:

Необходимо опустить из центральной точки окружности перпендикулярные прямые OL, OK и OM, которые опускаются на стороны треугольника АВС. Из вершин треугольника следует провести прямые, соединяющие их с центром фигуры OA, OC и OB.

Далее можно рассмотреть пару треугольников AOM и AOK. Можно отметить, что они являются прямоугольными, так как OM и OK являются перпендикулярами к сторонам AC и AB. Гипотенуза OA является общей для пары этих фигур.
Исходя из того, что касательная к окружности является перпендикуляром к радиусу, который проведен в точку касания, согласно свойству касательной к окружности, то катеты OМ и OК представляют собой радиусы окружности и, следовательно, равны.
Согласно полученным утверждениям, можно сделать вывод о равенстве прямоугольных треугольников AOМ и AOК по гипотенузе и катету. Таким образом, углы OAМ и OAК тоже равны. Получается, что OA является биссектрисой угла BAC.
Аналогично можно доказать, что OC является биссектрисой угла ACB, а OB – биссектрисой угла ABC.
Таким образом, биссектрисы треугольника совпадают в одной точке, которая представляет собой центр вписанной окружности.

Данное свойство окружности доказано.

Второе свойство

Необходимо представить доказательства свойства окружности, согласно которому в любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Доказательство состоит из нескольких этапов:

Окружность получится вписать в треугольник в том случае, когда существует точка, удаленная на равные расстояния от сторон геометрической фигуры.
Можно построить пару биссектрис ОА и ОС. Из точки, в которой они пересекаются, необходимо опустить перпендикулярные прямые OK, OL и OM ко всем граням многоугольника с тремя углами ABC.

Затем следует рассмотреть пару треугольников AOK и AOM.
Эти фигуры обладают общей гипотенузой АО. Углы OAK и OAM равны, так как OA является биссектрисой угла KAM. Углы OKA и OMA прямые, то есть также равны, так как OK и OM являются перпендикулярами к сторонам AB и AC.
Исходя из того, что две пары углов равны, можно сделать вывод о равенстве третьей пары AOM и AOK.
Таким образом, получилось подтвердить равенство треугольников AOK и AOM по стороне AO и двум углам, которые к ней прилегают.

Удалось определить равенство сторон ОМ и ОК, то есть они удалены на одинаковое расстояние от сторон геометрической фигуры АС и АВ.
Аналогично можно доказать, что OM и OL равны, то есть равноудалены от граней AC и BC.
Таким образом, точка равноудалена от сторон треугольника, что делает ее центром окружности, которая вписана в этот многоугольник.
Аналогичным способом можно определить точку во внутреннем пространстве любой геометрической фигуры с тремя углами, которая будет удалена на равные расстояния от его сторон, и представляет собой центр окружности, вписанной в этот треугольник.
Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод о том, что в любой треугольник можно вписать окружность.
Необходимо заметить, что центральная точка окружности совпадает с точкой, в которой пересекаются биссектрисы треугольника.
Можно допустить ситуацию, при которой в геометрическую фигуру с тремя углами можно вписать две и более окружности.
Необходимо провести три прямые из вершин геометрической фигуры к центральной точке окружности, вписанной в нее, и опустить перпендикулярные прямые к каждой грани треугольника. Таким образом, будет доказано, что рассматриваемая окружность лежит на пересечении биссектрис треугольника, согласно доказательству ее первого свойства.
Получим совпадение центральной точки окружности и центра первой окружности, которая уже была вписана в этот треугольник, а ее радиус соответствует перпендикуляру, опущенному на сторону треугольника так же, как и в первом случае. Можно сделать вывод о совпадении этих окружностей.
Аналогично любая другая окружность, вписанная в геометрическую фигуру с тремя углами, будет совпадать с первой окружностью.
Таким образом, в треугольник получается вписать лишь одну окружность.

Читайте так же:

Можно ли устанавливать зеркало на входную дверь

Третье свойство

Требуется доказать, что радиус окружности, которую вписали в геометрическую фигуру с тремя углами, представляет собой отношение площади треугольника к полупериметру:

Кроме того, необходимо представить доказательства следующему равенству:

Следует рассмотреть произвольный треугольник АВС, стороны которого соответствуют a, b и c. Для расчета полупериметра данного треугольника целесообразно использовать формулу:

Центральная точка окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис геометрической фигуры с тремя углами. Прямые OA, OB и OC, которые соединяют O с вершинами треугольника АВС, разделяют геометрическую фигуру на три части: AOC, COB, BOA. Площадь треугольника ABC представляет собой сумму площадей этих трех частей.

Исходя из того, что площадь какого-либо треугольника представляет собой половину произведения его основания на высоту, а высота треугольников AOC, COB, BOA рассчитывается, как радиус окружности r, то площади треугольников AOC, COB и BOA можно определить по формулам:

Далее необходимо представить площадь S геометрической фигуры АВС, как сумму площадей нескольких треугольников:

Следует отметить, что второй множитель является полупериметром геометрической фигуры с тремя углами АВС, что можно записать в виде равенства:

Таким образом, доказано равенство радиуса вписанной окружности и отношения площади треугольника к полупериметру.
Можно записать формулу Герона, смысл которой заключается в следующем: площадь треугольника (S) равняется квадратному корню из произведения его полупериметра (p) на разности полупериметра и каждой из его сторон (a, b, c)

Далее следует преобразовать формулу для расчета радиуса:

Свойство окружности доказано.

Формулы вычисления радиуса вписанной окружности

Параметры окружности, которую вписали в геометрическую фигуру с тремя углами, можно рассчитать с помощью стандартных формул. Радиус окружности будет определен в зависимости от типа треугольника.

Произвольный треугольник

Определить радиус окружности, которая вписана в какой-либо треугольник, можно, как удвоенную площадь треугольника, поделенную на его периметр.

В данном случае, a, b, c являются сторонами геометрической фигуры с тремя углами, S – ее площадь.

Прямоугольный треугольник

Радиус окружности, которую вписали в треугольник с прямым углом, представляет собой дробь с числителем в виде суммы катетов за минусом гипотезы и знаменателем, равным числу 2.

В формуле a и b являются катетами, c – гипотенузой треугольника.

Равнобедренный треугольник

Радиус окружности, которая вписана в равнобедренный треугольник, определяют по формуле:

В этом случае a – боковые стороны, b – основание треугольника.

Равносторонний треугольник

Расчет радиуса окружности, которая вписана в правильный или равносторонний треугольник, выполняют по формуле:

где a – сторона геометрической фигуры с тремя углами.

Как найти через высоту или стороны, примеры решения

Задача 1

Имеется геометрическая фигура с тремя углами, стороны которой составляют 5, 7 и 10 см. Требуется определить радиус окружности, которая вписана в этот треугольник.

Решение

В первую очередь необходимо определить, какова площадь треугольника. Для этого можно воспользоваться формулой Герона:

Затем применим формулу для расчета радиуса круга:

Ответ: радиус окружности составляет примерно 1,48 см.

Задача 2

Необходимо рассчитать радиус окружности, которая вписана в равнобедренный треугольник. Боковые стороны геометрической фигуры составляют 16 см, а основание равно 7 см.

Решение

Следует использовать подходящую формулу для расчета радиуса, подставив в нее известные величины:

голоса

Рейтинг статьи

Можно ли в любой треугольник вписать окружность