Pmonline.ru

Пром Онлайн
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Извлечение корня из большого числа

Извлечение корня из большого числа

Извлечение корня из большого числа. Дорогие друзья! В этой статье мы с вами разберём как извлекать корень из большого числа без калькулятора. Это необходимо не только для решения некоторых типов задач ЕГЭ (есть такие — на движение), но и для общего математического развития этот аналитический приём знать желательно.

Казалось бы, всё просто: разложи на множители, да извлекай. Проблемы нет. Например число 291600 при разложении даст произведение:

Есть одно НО! Способ хорош если легко определяются делители 2, 3, 4 и так далее. А что делать если число, из которого мы извлекаем корень является произведением простых чисел? Например 152881 является произведением чисел 17, 17, 23, 23. Попробуй-ка сходу найди эти делители.

Суть рассматриваемого нами метода — это чистый анализ. Корень при наработанном навыке находится быстро. Если навык не отработан, а просто понят подход, то немного медленнее, но всё же определяется.

Извлечём корень из 190969.

Сначала определим — между какими числами (кратными ста) лежит наш результат.

Очевидно, что результат корня из данного числа лежит в пределах от 400 до 500, так как

400 2 =160000 и 500 2 =250000

Далее смотрим, где «стоит» это число:

посредине, ближе к 160 000 или к 250 000?

Число 190969 находится примерно посредине, но все же ближе к 160000. Можно сделать вывод, что результат нашего корня будет меньше 450. Проверим:

Действительно, он меньше 450, так как 190 969 < 202 500.

Теперь проверим число 440:

Значит наш результат меньше 440, так как 190 969 < 193 600.

Проверяем число 430:

Мы установили, что результат данного корня лежит в пределах от 430 до 440.

Далее используются свойства произведений чисел. Известно, что:

Произведение чисел имеющих на конце 1 или 9 дают число с 1 в конце. Например, 21 на 21 равно 441.

Произведение чисел имеющих на конце 2 или 8 дают число с 4 в конце. Например, 18 на 18 равно 324.

Произведение чисел имеющих на конце 5 дают число с 5 в конце. Например, 25 на 25 равно 625.

Произведение чисел имеющих на конце 4 или 6 дают число с 6 в конце. Например 26 на 26 равно 676.

Произведение чисел имеющих на конце 3 или 7 дают число с 9 в конце. Например, 17 на 17 равно 289.

Так как число 190969 заканчивается цифрой 9, то это произведение либо числа 433, либо 437.

*Только они при возведении в квадрат могут дать 9 в конце.

Значит результат корня будет равен 437.

То есть, мы как бы «нащупали» верный ответ.

Как видите, максимум что потребуется это осуществить 5 действий столбиком. Возможно, вы сразу попадёте в точку, или сделаете всего три действия. Всё зависит о того, как точно вы сделаете начальную оценку числа.

Извлеките самостоятельно корень из 148996

Такой дискриминант получается в задаче:

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 336 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 48 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Результат корня находится между числами 300 и 400:

300 2 =90000 400 2 =160000

Суть дальнейших рассуждений сводится к тому, чтобы определить, как число 148996 расположено (отстоит) относительно этих чисел.

Читайте так же:
Можно ли морозильный ларь держать на морозе

Вычислим разности 148996 — 90000=58996 и 160000 — 148996=11004.

Получается, что 148996 близко (на много ближе) к 160000. Поэтому, результат корня однозначно будет больше 350 и даже 360.

Далее пробуем возводить в квадрат, например число 370. Как бы «щупаем» результат:

Можем сделать вывод, что наш результат больше 370. Далее ясно: так как 148996 оканчивается цифрой 6, то это означает, что в квадрат надо возводить число, оканчивающееся либо на 4, либо на 6. *Только эти числа при возведении в квадрат дают в конце 6.

Проверяем числа 374, 376, 384, 386, 394 …

Объективно говоря, вероятность того, что вам попадёт подобная задача, очень мала. Но пусть этот приём в вашем арсенале будет. Впереди вас ждёт много полезного, не пропустите!

Есть ещё метод по извлечению корня из большого числа, называют его алгоритмом Евклида. Его достоинство состоит в том, что можно извлекать корень из любого числа с необходимой точностью до десятых, сотых и тд. То есть корни неизвлекаемые в целых числах. *В будущем статья будет обязательно дополнена.

Некоторые приемы извлечения квадратного корня из числа

Многим старшеклассникам часто приходится сталкиваться с заданиями типа “Сравните числа. ” или “Решите уравнение. ”, в которых или извлекаемый, но из неимоверно большого числа (настолько большого, что не поможет даже таблица квадратов) корень, либо неизвлекаемый. Конечно, можно воспользоваться калькулятором и не мучиться. Но как же быть с предстоящими экзаменами? Да и на контрольной работе особо техникой не воспользуешься.

Именно этот вопрос может стать прекрасной темой для исследовательской работы.

Исследуем некоторые способы извлечения квадратных корней из различных чисел.

  • Познакомиться с историей квадратного корня
  • Научиться извлекать квадратные корни без помощи электронно-вычислительной техники
  • Познакомить с этими способами учащихся.

Данная тема очень актуальна, так как каждому выпускнику предстоит сдавать экзамены, а приобретённые навыки помогут не только на ЕГЭ по математике, но и на других предметах.

История квадратного корня.

Как мы знаем из определения, квадратный корень из числа а — это такое число, квадрат которого равен а, то есть решения уравнения относительно переменной х:

Квадратным корнем называют также функцию вещественной переменной х, которая каждому ставит в соответствие арифметическое значение корня.

Знак корня происходит из строчной латинской буквы (от латинского radix — корень), сросшейся с надстрочной чертой. Ранее надчеркивание выражения использовалось вместо заключения его в скобки. Так что есть всего лишь видоизменённый способ записи выражения .

Впервые такое обозначение использовал немецкий математик Томас Рудольф в 1525 году.

В ходе работы над данным исследованием можно обнаружить занимательную информацию. Оказывается, существует неофициальный праздник, посвящённый квадратному корню.

День квадратного корня — праздник, отмечаемый девять раз в столетие: в день, когда и число, и порядковый номер месяца являются квадратными корнями из двух последних цифр года (например, 2 февраля 2004 года: 02.02.04 или 3 марта 2009 года: 03.03.09). Ближайший такой праздник состоится 4 апреля 2016 года (04.04.16).

Впервые этот праздник отмечался 9 сентября 1981 года (09.09.81). Основателем праздника является школьный учитель Рон Гордон из города Редвуд Сити, штат Калифорния, США. Его дочь с помощью всемирных социальных сетей собрала группы поклонников этого праздника, где каждый может поделиться своим способом отметить эту необычную дату.

Главным блюдом на этом “праздничном столе” обычно являются варёные кубики из овощей и выпечка в форме математического знака квадратного корня.

  1. января ХХ01 года
  2. февраля ХХ04 года
  3. марта ХХ09 года
  4. апреля XX16 года
  5. мая ХХ25 года
  6. июня ХХ36 года
  7. июня ХХ49 года
  8. августа ХХ64 года
  9. сентября ХХ81 года.
Читайте так же:
Можно ли отключить смс

При этом интересно заметить, что промежуток (в годах) между праздниками составляет непрерывную последовательность нечётных чисел: 3, 5, 7,9, 11, 13, 15, 17, 19.

Методы извлечения квадратного корня.

Рассмотрим несколько методов извлечения квадратного корня. Начнём с алгоритма для извлечения квадратного корня из целого и дробного числа; арифметического способа; метода грубой прикидки. Далее рассмотрим два замечательных (и весьма удобных) метода Герона.

Алгоритм для извлечения квадратного корня из целого числа нацело. Данный алгоритм требует вычислений в столбик. Изучим предложенный алгоритм, а затем применим для нескольких чисел.

Разбить число на группы по две цифры справа налево.

Для первой группы (она может в итоге состоять из двухзначного и однозначного числа) подобрать такую цифру, чтобы её квадрат был наибольшим и не превосходящим данное число.

Из первой группы вычитается квадрат найденного числа, а само число будет первым в ответе.

Далее работаем столбиком, то есть к остатку (если он есть) сносим следующую группу.

Самый сложный. Помните то число, которое было первым в ответе? Его необходимо умножить на 2, а затем справа к нему приписать ещё одну цифру, такую, чтобы произведение полученного числа на приписанную цифру было наибольшим, но не превосходило снесённое число. Эта самая цифра будет следующей в ответе.

Затем мы вычитаем столбиком полученное число и сносим следующую группу, если такая есть. И повторяем шаги 4-5, только берём уже все число, которое выходит в ответе.

Без примера разобраться с этим алгоритмом трудно. Начнём с числа попроще, с табличного значения.

Разбиваем число: 31’36

Для первой группы (31) подбираем цифру, чтобы её квадрат был максимален, но не превосходил группу. В данном случае это число 5, которое первым пойдёт в ответ.

Пример: возьмём число повнушительнее, например

Для первой группы (29) подбираем цифру, чтобы её квадрат был максимален, но не превосходил группу. В данном случае это число 5, которое первым пойдёт в ответ.

а) , Пусть цифра – 4;

б) , Пусть цифра – 7;

Если корень не извлекается из числа нацело, то нужно пользоваться тем же самым алгоритмом, добавив справа от исходного числа дробные группы ’00’ (чем больше групп, тем точнее результат). Если необходимо вычислить корень квадратный из дробного числа, то также пользуются данным алгоритмом, только дробную часть разбивать на группы необходимо слева направо, считая от запятой.

Для относительно небольших чисел существует арифметический способ вычисления их квадратного корня. Ну, мало ли на экзамене переволнуешься, и забудешь корень квадратный из 4. Бывает и не такое.

В чем суть метода. Для квадратов чисел справедливы следующие равенства:

То есть найдём, например: .

В принципе, этим способом можно найти целую часть квадратного корня для чисел, из которых корень нацело не выносится.

Метод грубой прикидки может быть использован при наличии под рукой таблицы квадратов.

Например, вам необходимо грубо оценить значение .

Тогда можно поступить следующим образом. Нужно умножить исходное число на 100 (т.е. ) и найти ближайшие к полученному числу значения по таблице. В данном случае, это числа 484 и 529. Квадратными корнями для этих чисел являются 22 и 23. , , тогда

Аналогично, для больших чисел: найдём .

Древнегреческий учёный Герон, живший ещё в I веке нашей эры, придумал метод вычисления квадратных корней, который, возможно, используется в ваших собственных калькуляторах. Суть первого метода проще всего понять сразу на примере.

Читайте так же:
Можно ли пить в машине пассажирам

Найдём. Число не имеет рационального корня, поэтому возьмём корень с очень малой погрешностью. Это 1369, имеющее корень 37.

Разделим 1360 на 37. Получается .

Теперь сложим 37 и , получается .

Разделим результат на 2, получим . Безусловно, мы получаем число с погрешностью, но эту погрешность можно уменьшить, если повторить все операции ещё раз.

Второй метод Герона ещё проще, чем первый.

В этом случае, исходное число представляется как . где а 2 – ближайший точный квадрат, и считают по формуле

По моему мнению, методы Герона являются самыми простыми для понимания школьников, а также очень эффективными, так как имеют самую маленькую погрешность. Успехов на экзамене!

Калькулятор корней онлайн — извлечения, свойства, особенности, таблица вычислений

Онлайн-калькулятор – удобный ресурс, помогающий решать задачи, примеры, в котроых встречаются квадратные или степенные корни. Чтобы правильно извлекать корни уравнения онлайн, важно хорошо знать терминологию, основные математические понятия. Что такое квадратный корень – это процесс, обратный возведению натурального числа в квадрат (перемножению числа или понимаемого под ним математического объекта на самое себя).

Таблица корней от 0 до 99

Извлечение корней

Представить работу калькулятора можно с помощью таблицы квадратов двузначных чисел. По горизонтали в каждом из столбцов указаны единицы от одного до девяти, по вертикали – десятки. Достаточно выяснить, в какой из ячеек находится подкоренное число. Несложно догадаться, что по горизонтали в левой крайней колонке указаны десятки, в верхней строчке таблицы – единицы.

Допустим, под корнем стоит 7056. Находим значение в таблице. Это 8 десятков и 4 единицы, число 84. То есть, 84 это квадратный корень онлайн из 7056. Онлайн-калькулятор находит значения любого подкоренного выражения по подобным таблицам.

При перемножении отрицательных величин получается величина, больше нуля. Извлечение арифметического квадратного корня возможно только из положительного числа (матрицы).

Свойства арифметического квадратного корня

Пользоваться онлайн-калькулятором будет проще, если сначала упростить выражение, привести в удобный для вычисления вид. Чтобы преобразовать подкоренное значение, стоит воспользоваться правилами умножения, деления корней, возведение их в степень. Свойства корней стоит вызубрить, их всего три. Каждое рассмотрено ниже отдельно. Решение корней онлайн упрощается после математических преобразований подкоренного значения или выражения. Для этого достаточно знаний арифметики и азов алгебры.

Умножение корней

Если произведение подкоренного выражения можно представить в виде двух множителей, достаточно перемножить корни, извлеченные из этих множителей: допустим, под корнем стоит число 576. Преобразуем его в два множителя: 64 и 9. Затем извлекаем корень из 64, он равен 8, подобную процедуру проводим со вторым из множителей. Квадратный корень из девяти равен 3. Осталось найти результат: 8х3=24. Корень 576 равен 24.

Формулой свойство изображается так:

Раскладывая подкоренное значение на множители, можно значительно упростить процесс вычисления квадратных корней.

Деление корней

Следующее свойство удобно для извлечения корней из дробных чисел. Когда подкоренное выражение представлено в виде дроби, следует воспользоваться правилом деления. Проще запомнить это свойство по формуле:

Обратная формула трактуется следующим образом: корень из частного равен частному корней.

Допустим, нужно извлечь квадратный корень из дроби 25/144. Для этого необходимо извлечь корень из 25, это 5. Затем подобную манипуляцию произвести с делителем дроби: корень 144 равен двенадцати. После извлечения корня из 25/144 получаем дробь 5/8. Если корень необходимо вычислить из десятичной дроби, нужно представить ее в виде натуральной. Например, 0,64 это 64/100. В результате получаем 8/10 или 0,8. Все довольно просто. Если из делимого или делителя корень не извлекается, при решении примеров или задач его оставляют под знаком корня.

Читайте так же:
Можно ли прогреть видеокарту обычным феном

Возведение в степень

Последнее свойство корней – это возведение его в степень. Тут все просто: достаточно перенести степень под корень, подставить к подкоренному выражению.

При возведении подкоренного числа в квадрат с последующим извлечением квадратного корня получаем первоначальное подкоренное выражение. На слух выражение воспринимается сложно. Проще усвоить формулу:

Из формулы видно, что этим свойством удобно пользоваться при возведении квадратного корня в четную степень, ее можно сразу делить на два и убирать знак корня. Как всегда, пример: чтобы возвести в шестую степень квадратный корень числа 3, необходимо возвести число 3 в куб, степенной показатель 6 поделить пополам.

Внесение под знак корня

При решении задач и примеров возникает необходимость вносить под корень множитель. Например, чтобы вычислить 4 корня из 4, можно представить выражение в виде двух корней: первым подкоренным выражением будет 4 2 , второе останется неизменным. Финальное выражение нетрудно произвести, воспользовавшись формулами:

Формулу запомнить легко, она может пригодиться на экзамене.

Сравнение корней

Для графического решения уравнений нередко приходится сравнивать корни. Как это сделать быстро при сравнении квадратных корней? Воспользоваться еще одним правилом: чем больше подкоренное выражение, тем больше значение корня. Допустим, нужно сравнить

2√3 и 3√2. Вносим числа в подкоренные выражения. Получаем под знаками корней два выражения: 2 2 х3 и 3 2 х2. Осталось сравнить числа 12 и 18. Второе больше.

Свойства квадратных корней распространяются на другие коренные значения: четные или нечетные. Важно помнить, что в подкоренном выражении с четным показателем не может быть отрицательных чисел. С нечетными числами такое возможно. Результат в этом случае тоже будет отрицательным.

На этом экскурс по свойствам, сравнению корней можно считать исчерпывающим. Зная эти правила обращения с корнями, можно упростить сложное выражение. Пользоваться нашим онлайн-калькулятором с подсказками очень просто.

Можно ли найти корень из 0

Обнаружен блокировщик рекламы

Ой! Похоже, вы используете Adblocker!

Поскольку мы изо всех сил пытались сделать для вас онлайн-расчеты, мы обращаемся к вам с просьбой предоставить нам разрешение, отключив Adblocker для этого домена.

ДОБАВИТЬ ЭТОТ КАЛЬКУЛЯТОР НА ВАШ ВЕБ-САЙТ:

Добавьте калькулятор квадратного корня на свой веб-сайт, чтобы упростить использование этого калькулятора напрямую. Создайте учетную запись для этого виджета без проблем, поскольку он на 100% бесплатный, простой в использовании и вы можете добавить его на несколько онлайн-платформ.

app

калькулятор корней онлайн корня поможет вам найти квадратный корень n-й степени любого положительного числа, которое вы хотите. Кроме того, этот калькулятор sqrt сообщает вам, что введенное вами число является точным квадратом или не является идеальным квадратом. Например; 4, 9 и 16 – это идеальные квадраты 2, 3 и 4 соответственно. Квадратный корень из числа – это число, которое при умножении на себя равно исходному числу. Например, квадрат 9 и 16 равен 3 и 4 соответственно. Если вы беспокоитесь о простом ручном вычислении, продолжайте читать, чтобы узнать формулу квадратного корня, вычисление дроби, отрицательные числа и многое другое!

Кроме того, вы можете попробовать наш онлайн калькулятор корней, который поможет вам вычислить значение любого числа, возведенного в любую степень.

Но давайте перейдем к основам!

Как найти квадратный корень (шаг за шагом):

Чтобы подготовиться к вычислению квадратного корня, вам следует запомнить основной идеальный квадратный корень. Поскольку квадрат 1, 4, 9, 16, 25, 100 равен 1, 2, 3, 4, 5 и 10.

Читайте так же:
Мой канал на ютубе вход

Чтобы найти квадрат √25, давайте посмотрим!

Это простейшие квадратные корни, потому что они всегда дают целое число, но что, если у числа нет точного квадратного корня? Например, вы должны оценить квадрат в 54?

  • Как вы знаете, √49 = 7 & √64 = 8. Итак, √54 находится между 8 и 7.
  • Число 54 ближе к 49, чем к 64. Итак, вы можете попробовать угадать √54 = 7,45.
  • Затем возводя в квадрат 7,45, получаем 7,452 = 55,5, что больше 54. Поэтому вам следует попробовать меньшее число. Возьмем 7,3
  • Если взять в квадрат 7,3, получим 53,29, что близко к 54.
  • Это означает, что квадратный корень из 54 находится между 7,3 и 7,4.

Возьмем другой пример:

Пример:

Что такое квадратный корень из 27?

Решение:

Поскольку число 27 не является квадратом любого числа. Итак, мы должны упростить это как:

Наш калькулятор корней онлайн корня учитывает эти формулы и методы упрощения для решения квадратного корня любого числа или любой дроби.

Квадратный корень из дробей:

Площадь дробей можно определить операцией деления. Взгляните на следующий пример:

(a / b) ^ 1/2 = √a / √b = √a / b

Где a / b – любая дробь. Приведем еще один пример:

Пример:

Что такое квадратный корень из 9/25?

Решение:

Квадратный корень отрицательного числа:

В школе нас учили, что квадратный корень из отрицательных чисел не может существовать. Но математики вводят общий набор чисел (Комплексные числа). В виде,

Где a – действительное число, а b – мнимая часть. Йота (i) – это комплексное число со значением:

я = √-1. Приведем несколько примеров:

Квадрат -4 = √-4 = √-1 * 9 = √ (-1) √9 = 3i

Чему равен квадратный корень из -17 = √-17 = √-1 * 17 = √ (-1) √17 = 17i

Как пользоваться калькулятором квадратного корня:

С помощью этого калькулятор корней онлайн квадратный корень стало очень просто. Для точных расчетов вам просто нужно выполнить указанные шаги.

Входы:

  • Прежде всего, нажмите вкладку, чтобы выбрать квадратный корень или корень n-й степени для любого числа.
  • Затем введите число, для которого вы хотите произвести расчет в соответствии с выбранной опцией.
  • Наконец, нажмите кнопку «Рассчитать».

Выходы:

Как только вы закончите, калькулятор покажет:

  • Корень квадратный из числа.
  • Корень N-й степени числа.
  • Пошаговый расчет.

Заметка:

Независимо от того, какой параметр ввода, онлайн-калькулятор с корнями корня покажет вам точные результаты в соответствии с выбранным вводом.

Часто задаваемые вопросы (FAQ):

Может ли число иметь более одного квадратного корня?

Да, положительные числа имеют более одного sqrt, одно положительное, а другое отрицательное.

Является ли √2 рациональным числом?

Нет, это иррациональное число.

Квадратный корень из 2 не может быть выражен как частное двух чисел.

Рациональны ли квадратные корни?

Некоторые корни рациональны, а другие иррациональны.

Конечное примечание:

Квадратные корни часто встречаются в математических формулах, включая квадратную формулу, дискриминант, а также во многих законах физики. Кроме того, он используется во многих местах повседневной жизни, используется инженерами, плотниками, менеджерами по строительству, фельдшерами и многими другими. Когда дело доходит до вычислений для большого количества, это очень сложно и сложно. Просто попробуйте калькулятор корней онлайн, который поможет вам определить квадратный корень в соответствии с вашими потребностями.

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector