Pmonline.ru

Пром Онлайн
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Можно ли теоретически рассчитать момент инерции блока

Можно ли теоретически рассчитать момент инерции блока

Для неоднородных тел и тел неправильной формы момент инерции определяют экспериментально, а для однородных тел геометрически правильной формы — посредством интегрирования. Правда, для тонкого стержня момент инерции можно рассчитать и элементарным путем.

Пусть тонкий однородный стержень массой длиной площадью поперечного сечения и плотностью может вращаться относительно перпендикулярной оси 00, проходящей через его конец (рис. 31). Разобьем стержень на большое число малых элементов длиной и массой Момент инерции каждого такого элемента, согласи о формуле (2), равен

где среднее геометрическое расстояние элемента от оси вращения, и соответственно расстояния от начала и от конца элемента до этой оси. поэтому

Умножая и деля правую часть последнего равенства на и учитывая, что получим

Будем теперь бесконечно увеличивать число элементов, делая тем самым длину каждого из них бесконечно малой. Тогда, согласно

определению, момент инерции всего стержня будет равен пределу суммы моментов инерции всех элементов:

Легко убедиться в том, что

В самом деле, как показывают непосредственные вычисления, последнее равенство верно для следовательно, оно верно и для Покажем, что оно остается справедливым и для

Таким образом, рассматриваемое равенство оказывается справедливым для любого целого значения в том числе и для Тогда

Аналогично выводится формула и для момента инерции тонкого стержня относительно перпендикулярной оси, проходящей через его середину. Этот расчет читатели могут сделать самостоятельно.

Выведенное выражение момента инерции тонкого стержня проще всего получить посредством интегрирования. Для этого стержень, который мы разбивали раньше на элементов длиной и массой (см. рис. 31), разобьем теперь на бесконечно большое число бесконечно малых элементов длиной и массой Обозначив расстояние от оси 00 до одного из таких элементов через напишем, что момент инерции элемента стержня

Тогда момент инерции всего стержня

Но масса стержня поэтому

Приведем (без вывода) формулы для расчета момента инерции некоторых однородных тел геометрически правильной формы массой относительно оси симметрии .

1. Момент инерции тонкого стержня длиной (рис. 32, а)

2. Момент инерции бруска длиной а и шириной (рис. 32, б)

3. Момент инерции кольца, внешний радиус которого а внутренний — (рис. 32, в),

4. Момент инерции тонкостенного кольца (обруча) радиусом (рис. 32, г)

Формулу (9) легко получить, полагая в формуле

5. Момент инерции диска (цилиндра) радиусом (рис. 32, д)

Формулу (10) легко получить, полагая в формуле

6. Момент инерции шара радиусом (рис. 32, е)

Если ось вращения тела параллельна оси симметрии , но смещена от нее на расстояние то момент инерции относительно параллельно смещенной оси выражается соотношением, называемым теоремой Штейнера:

где момет инерции тела относительно оси симметрии. Например, момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей перпендикулярно к стержню через его конец, равен

что совпадает с результатом расчетов, проведенных в начале данного параграфа.

Читайте так же:
Мгтс личный кабинет вход по номеру мобильного

1 (Новые ответы с тестов по термеху (1))

PDF-файл из архива «Новые ответы с тестов по термеху (1)», который расположен в категории «к экзамену/зачёту». Всё это находится в предмете «теоретическая механика» из третьего семестра, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст из PDF

блок веса подвешен на нитивал ворота радиуса приводится в движениевозможное перемещение точки этовычислить обобщённую силу в направлении координатывычислить обобщённую силу соответствующую координате для системы состоящей издвухступенчатого блокавычислить обобщённую силу соответствующую координате для системы состоящей изоднородного стержнявычислить обобщённую силу соответствующую координате отсчитываемой от вертикалиглавный вектор сил инерции определяетсяглавный момент сил инерции твёрдого телагруз весом подвешен на пружинегруз массой опускаетсягруз массы подвешен на нитиесли тело вращаетсяк системе блоковкакая из нижеперечисленных связей в механической системе является геометрическойкакая из нижеперечисленных связей в механической системе является голономнойкакая из нижеперечисленных связей в механической системе является кинематическойкакая из нижеперечисленных связей в механической системе является нестационарнойкакая из нижеперечисленных связей в механической системе является неудерживающейкакая из нижеперечисленных связей в механической системе является стационарнойкакую начальную скоростькинетическая энергия невесомой пружиныкинетический момент материальной точкиколесо.

(кинетический момент вращения при 1 с)колесо. (кинетический момент вращения при 3 с)колесо. (кинетическую энергию)колесо. (момент инерции)колесо. (проекцию главного вектора сил инерции)колесо. (проекцию главного момента сил инерции)колесо. (проекцию количества движения)колесо. (работу сил)кривошип массы и длиныкривошип однородный стерженьматериальная точка конического маятникаматериальная точка массы находится в состояниимеханизм эллипсографамомент инерции диска массымомент инерции однородного дискамомент инерции однородного кольцамомент инерции однородного стержня. (один из его концов)момент инерции однородного стержня.

(середину)момент инерции однородного цилиндрана трёх сплошных однородных валахнезависимые между собой параметрыодной из двух основных задач динамики является определениеоднородная горизонтальная платформаоднородные цилиндры. (угловое ускорение блока)однородные цилиндры. (ускорение точки)однородный горизонтальный стержень длинойоднородный стержень длиной и массой жёстко соединён с вертикальным валомоднородный стержень длиной и массой прикреплён шарниромоднородный стержень длиной и массы может вращатьсяоднородный стержень массы вращается вокруг вертикальной осиплита массы движется поступательно.

(модуль ускорения груза)плита массы движется поступательно. (ускорение плиты)плита массы перемещается по гладкой горизонтальной плоскости на плиту действуетгоризонтальная силаплита массы перемещается по гладкой горизонтальной плоскости по плите катится безскольженияпо горизонтальной платформепризма массы движется поступательнопринцип возможных перемещенийпринцип деламбера для механической системы заключается впринцип деламбера-лагранжа общее уравнение механикиработа сил тяжестиработа сил упругостиредуктор состоит из трёх шестерёнсила кориолиса равна нулюсила приложена к материальной точке. (1)сила приложена к материальной точке.

(2)сила приложена к материальной точке. (4)составная балкастатические реакции в опорах неподвижной оси вращения зависят отстатическими реакциями в опорах неподвижной оси вращения называются составляющиетвёрдое тело. (главный вектор сил инерции)твёрдое тело. (главный момент сил инерции)твёрдое тело. (кинетическая энергия если скорость ноль)твёрдое тело. (кинетическая энергия если угловая скорость ноль)твёрдое тело. (кинетическая энергия)твёрдое тело. (количество движения)тело вращающееся вокруг неподвижной оси называется динамически уравновешенным еслитело вращающееся вокруг неподвижной оси называется статически уравновешенным еслиточка массой движется в трубкечему равен кинетический момент относительно оси системы состоящей из двухступенчатогоблокачему равен кинетический момент относительно оси системы состоящей из однородногостержнячему равна кинетическая энергия системы состоящей из двухступенчатого блокачему равна кинетическая энергия системы состоящей из однородного стержнячему равна проекция главного вектора сил инерции на ось для системы состоящей издвухступенчатого блокачему равна проекция главного вектора сил инерции на ось для системы состоящей изоднородного стержнячему равна проекция количества движения на ось для системы состоящей из двухступенчатогоблокачему равна проекция количества движения на ось для системы состоящей из однородногостержнячему равно число степеней свободы механической системы с голономными связямичему равно число степеней свободы механической системы состоящей из трёх твёрдых телчто из нижеперечисленного не является аксиомой динамикичто из нижеперечисленного не является формулой для вычисления обобщённой силычто из нижеперечисленного не является формулой для вычисления обобщённой силычто называется возможной работой силычто называется обобщённой силойчто является мерой инерции материальной точкишарик массы движется из вершины кругового конусаэлементарная работа на возможных перемещенияхэлементарная работа силы тяжестиСила F приложена к материальной точке Ответ 1Момент инерции однородного диска Ответ 2Твёрдое тело массы M.

Читайте так же:
Можно ли увеличить скорость интернета ростелеком

Твёрдое тело массы М Ответ 2Твёрдое тело массы M. Твёрдое тело массы М Ответ 2Твёрдое тело массы M. Твёрдое тело массы М Ответ 3Работа сил упругости Ответ 4Момент инерции однородного стержня через середину ответ 4Сила F приложена к материальной точке ответ 4Твёрдое тело массы M Ответ 1Кинетический момент материальной точки Ответ 2Момент инерции однородного цилиндра Ответ 2Момент инерции однородного стержня концов ответ 2Твёрдое тело массы М Ответ 3Работа сил тяжести ответ 3Сила F приложена к материальной точке ответ 4Твёрдое тело массы М Ответ 4Ответ 0,85 Однородный горизонтальный стерженьОтвет 0,0667 однородная горизонтальная платформаОтвет 1,4Груз A массой Ответ 1,53Шарик А массы Ответ 2,25По горизонтальной платформе Ответ 5,167Какую начальную скорость Ответ 11,431Твёрдое тело массы М Ответ 4Что называется обобщенной силой Ответ 2Возможное перемещение точки это ответ 3Ответ 3 Элементарная работа тяжестиОтвет 150 Вычислить обобщенную силуОднородный цилиндры Ответ 1) 2 2) ? (не 33.3)Составная балка Ответ 1) 200 2) 1200Груз1 массы Ответ 1) 10 — верныйОднородный цилиндры Ответ 1) 19,62) 1,43 — НЕ верный2) 3,92 — НЕ верный (возможно верный 5,6?)Кривошип 1 массой Ответы: 2 – верный , 0.023 – верныйКакую начальную скорость, параллельную линии наибольшего скатанаклонной плоскости, надо сообщить оси колеса радиусаОТВЕТ: 11,43095Чему равна проекция главного вектора сил для системы, состоящей издвухступенчатого блока и двух подвешенных грузовОтвет: -34,5Колесо представляет из себя однородный дискОТВЕТ НЕ ПРОВЕРЕН: -121,5Вычислить обобщенную силу, соответствующую координате Ответ: 4,9Груз массой 20 кг лежит между двумя пружинамиОднородный стержень ОД длиной l1=1м и массой 20 кгОТВЕТЫ: -0,84852, 1,64818(подобное :Однородный стержень ОА длиной 2мЧему равна проекция главного вектора сил инерции на ось Оу системыЧему равна проекция количества движенияответ -5Вычислить обобщенную силуответ 150Материальная точка массы 1 кг движетсяОднородный стержень длиной 0,2 м и массой 2 кгОТВЕТ: 7147,9416 и 128,60548 (не проверено)подобное:ОТВЕТ: 1,135 и 30,22857 (не проверено)Однородный стержень массы 1 кг вращается вокруг вертикальной осиМатериальная точка массой движется внутри паза диска радиусомрасположенногоОтвет: 1,73205 и 2 (не проверено)Для данной системы вычислить кинетическуюСоставная балка АЕ лежащая на двух опорах А и С состоит из трех балокОтвет: 200, 1200Шарик А массы m=2 кг движется из вершины кругового конуса без начальнойскорости по желобуответ: 2,25 (не проверен)Однородный диск радиуса r=0.5Для данной системы, считая, что (проверить)Там знак минус между нимиКинетический момент, который от скорости центра катка отрицательный Потому что вокруг оси Zвектор по часовой стрелке, в последнем слагаемом радиус R1(а не R2)0,315 ответпоследнее слагаемое разделить на 2, так как берем скорость центра, находим через мцсгруз массы 1 кг подвешен на нитиответ 9,8 0,6533Материальная точка массой движется по поверхности гладкого бакаОтвет: 16,7332, 150 (не проверено)Для данной системы вычислить кинетический момент относительно осивращения блока 2Ответ: -10Механизм эллипсографа расположен в горизонтальной плоскости50 и 22.222222Материальная точка массой 0.1 кг проводится в движение по гладкойгоризонтальнойОТВЕТ: s=1.8811-L=1.3811 и N=1.45072Плита 1 массы перемещается по гладкой горизонтальной плоскостиОтвет: 2,5 и 9,8Плита 1 массы движется поступательно по гладкой горизонтальной плоскостиОтвет: -500 (или +??), 55По горизонтальной платформе 1 массойБЕЗ РЕШЕНИЯОднородный стержень ОД длиной 1 м и массой 10 кгПодобное:Тело массой 5 кг подвешено к концу пружиныДифференциальное уравнение имеет видОпределить логарифмический декрементГруз массой 0,1 кг подвешен к концуНа тело массы , подвешенное к пружине жесткостиОпределить частоту свободных затухающих колебанийсплошной однородный цилиндрический катокОпределить период свободных затухающихОднородный стержень длинойОднородный стержень 1 длины l и массыНе колебания нижеответ 4Редуктор состоит из трёх шестеренК системе блоков, изображенных на чертежеЭлементарная работа на возможных перемещенияхответ 4плита 1 массыответ 4 32вычислить обобщенную силуответ 19,6плита 1 массы 1900 кгответ 2.5 9.8Элементарная работа силы тяжестиответ 3Блок 3ответ 0.1 0.01груз массой 4 кгдвижение механической системы в малойна тело массы , подвешенноеблок 1, подвешенный на нити 2дифференциальное уравнение малыхпрямоугольная призма движетсявычислить обобщенную силуколесо, представляющее из себяна трёх сплошных однородныхдля данной системы, считая, что катокМатериальная точка массы 4 кгДля данной системы, считая, чтоточка движется в трубкеОтвет не проверенС однородным диском 1 массой.

Читайте так же:
Можно ли отправить почтой сим карту

Можно ли теоретически рассчитать момент инерции блока

comment

2017-06-03
Вычислить момент инерции:
а) медного однородного диска относительно оси симметрии, перпендикулярной к плоскости диска, если его толщина $b = 2,0 мм$ и радиус $R = 100 мм$;
б) однородного сплошного конуса относительно его оси симметрии, если масса конуса $m$ и радиус его основания $R$.


(а) Рассмотрим элементарный диск толщиной $dx$. Момент инерции этого элемента вокруг оси $z$, проходящей через его центр масс.



(б) Рассмотрим диск элемента радиуса $r$ и толщину $dx$ на расстоянии $x$ от точки 0. Тогда $r = x tg \alpha$ и объем диска

Лекция №5. ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Движение любого твердого тела можно рассматривать как сумму поступательного движения его центра масс и вращательного движения относительно оси, проходящей через его центр масс.

Разобьем твердое тело на элементарные массы mi , тогда его можно представить как систему материальных точек, взаимное расположение которых остается неизменным. Поэтому для описания поступательного движения тела можно использовать закон изменения импульса механической системы

p = $$^n>$$ mi υ i=m υ C — импульс всех материальных точек твердого тела.

Также можно воспользоваться понятием центра масс и к поступательному движению твердого тела применить закон движения центра масс

Центр масс твердого тела движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса тела, и на которую действуют все силы, приложенные к телу. Уравнение (4.1.2) дает возможность установить закон движение центра масс твердого тела, если известна масса тела и действующие на него силы. Если тело движется только поступательно, то это уравнение будет определять не только закон движения центра масс, но и любой другой точки тела.

4.2. Момент импульса. Момент силы.

Момент силы. Векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора r точки, проведенному из полюса в точку приложения силы, на силу F называется моментом силы материальнойточки относительно некоторого центра

Читайте так же:
Можно ли работать перфоратором в выходные дни

Пусть на частицу массой m действует сила F , а ее положение в некоторой инерциальной системе отсчета характеризуется радиус-вектором r относительно начала координат. Тогда момент силы частицы относительно точки O дается уравнением (4.2.1). Направление момента силы M совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от радиус-вектора r к силе F , и он перпендикулярен как вектору r , так и вектору F (рис. 4.2.1). Тогда модуль вектора момента силы равен

где d=r sin α − плечо силы относительно точки O .

Плечо силы − это расстояние, измеряемое по перпендикуляру от оси вращения до линии, вдоль которой действует сила.

Таким образом, модуль момента силы относительно оси, есть скалярная величина, характеризующая вращательное движение действия силы и равная произведению модуля силы F , действующей на твердое тело, на плечо силы d относительно этой оси.

Если на тело действует несколько сил, то суммарный момент этих сил равен векторной сумме моментов всех сил относительно данной оси:

Момент импульса. Векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора r точки, проведенного из центра на ее импульс m υ называется моментом импульса материальной точки относительно некоторого центра

Пусть частица массой m имеет импульс p , а ее положение в некоторой инерциальной системе отсчета характеризуется радиус-вектором r относительно начала координат. Тогда момент импульса частицы относительно точки O дается уравнением (4.2.4). Направление момента импульса совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от радиус-вектора к импульсу p , и он перпендикулярен как вектору r , так и вектору p (рис. 4.2.2). Тогда модуль вектора момента импульса равен

где d − плечо импульса относительно точки O .

Плечо импульса − это расстояние, измеряемое по перпендикуляру от оси вращения до линии, вдоль которой направлен импульс.

Таким образом, модуль вектора момента импульса относительно центра или оси − есть скалярная величина, равная произведению импульса p на плечо импульса d относительно этой оси.

Читайте так же:
Можно ли есть просроченный роллтон

Моментом импульса механической системы относительно некоторого центра называется векторная величина, равная геометрической сумме моментов импульса относительно той же точки всех материальных точек системы

4.3. Основное уравнение динамики вращательного движения относительно точки.

Рассмотрим систему материальных точек массами m1, m2, . mn движущихся со скоростями υ 1, υ 2, . υ n . Пусть на каждую из этих точек действуют: равнодействующие внутренних сил F i 1, F i 2, . F i n , и равнодействующие внешних сил F e 1, F e 2, . F e n .

Запишем уравнения движения частиц:

Умножим каждое уравнение системы (4.3.3) на соответствующий радиус-вектор и получим

Преобразуем данные уравнения

Сложим эти уравнения и получим

В последнем уравнении:

Таким образом, выражение (4.3.6) можно записать в виде

Учитывая, что моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил для любой системы всегда равна нулю, т. е. $$^n>$$ M i i=0 , получим основное уравнение динамики вращательного движения относительно точки (или иначе закон изменения момента импульса механической системы ).

4.4. Закон сохранения момента импульса.

Если момент внешних сил $$^n>$$ M e i=0 , то получим

закон сохранения момента импульса.

Если момент внешних сил действующих на механическую систему относительно центра оси равен нулю, то момент импульса системы относительно этого центра с течением времени не изменяется.

Можно сказать, что момент силы при вращательном движении является аналогом силы при поступательном движении, момент импульса − аналогом импульса.

Законы изменения и сохранения момента импульса механической системы можно применить и к вращательному движению твердого тела.

4.5. Момент инерции.

Моментом инерции твердого тела относительно данной оси называется физическая величина, являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении вокруг этой оси и равная сумме произведений масс всех частиц тела на квадраты их расстояний от той же оси:

Момент инерции зависит только от формы тела и расположения масс относительно оси. [I]=1 кг · м 2 .

Понятие момента инерции было введено при рассмотрении вращения твердого тела. Однако следует иметь в виду, что каждое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает определенным моментом инерции относительно любой оси.

Если тело сплошное, то суммирование в выражении (4.5.1) следует заменить на интегрирование:

где R − расстояние от элементарной массы dm до оси вращения.

4.6. Теорема Штейнера. Правило аддитивности

Существуют два свойства момента инерции:

1) Теорема Штейнера: момент инерции тела Iz относительно произвольной оси равен сумме момента инерции Ic относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния a между осями:

2) Правило аддитивности: сумма моментов инерции частей системы относительно оси равен моменту инерции системы относительно данной оси:

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector